基于灰数（GM）模型的灰色预测方法预测刀具耐用度
1 引言为了准确评价金属材料的可加工性或刀具材料的切削性能，通常需要进行刀具磨损试验，即在常用切削速度范围内选取不同切削速度进行切削试验，得到一组刀具磨损v-t曲线，并根据给定的磨钝标准绘制出刀具耐用度曲线。这种基于切削试验的刀具耐用度评价方法成本较高（尤其对于贵重材料），费时费力，且在有些情况下难以实现。为此，众多研究人员对各种刀具耐用度快速试验方法（如端面车削试验法、圆锥车削试验法、不断加速法、放射性同位素法等）进行了大量试验研究，但这些试验方法均存在不同的局限性。近年来也有研究者采用线性回归法预测刀具耐用度，但要获得较理想的预测结果，在刀具正常磨损阶段至少需要选取8～10个测点且要求该阶段具有较好线性。 基于灰数模型（gm模型）的预测方法自20世纪80年代初期灰色理论创建以来，已在许多领域得到成功应用。在灰色模型的建模过程中，灰色理论可充分开发并利用少量数据中的显信息和隐信息，根据行为特征数据找出因素本身或因素之间的数学关系，提取建模所需变量，通过建立离散数据的微分方程动态模型，了解系统的动态行为和发展趋势。该方法具有以下特点：①所需信息量较少（通常只要有4个以上数据即可建模）；②不需已知原始数据分布的先验特征，通过有限次的生成，可将无规则分布（或服从任意分布）的任意光滑离散的原始序列转化为有序序列。③建模精度较高，可保持原系统特征，能较好反映系统实际情况。 本文采用gm模型，在易切钢材料的切削性能试验中，对给定磨钝标准下的刀具耐用度进行了预测，取得了令人满意的效果。2 刀具耐用度预测的灰色建模方法由单变量一阶微分方程构成的gm（1，1）灰色模型是灰色理论中较常用的预测模型。基于该模型的刀具耐用度预测建模方法如下：首先按通常的刀具磨损试验方法进行切削试验，每切削一段时间即观测一次刀具后刀面磨损值vb，当刀具进入正常磨损阶段后，即可根据记录数据和预先设定的刀具磨钝标准对刀具耐用度进行预测。设观测的原始序列为 x（0）={x（0）（vbi）|i=1，2，…，n} （1）
式中，x（vbi）为切削时间，vbi为与该时刻对应的刀具后刀面磨损值。 基于灰色理论的预测通常要求原始数据是等时空距的，但在本文涉及问题中，切削时间与刀具后刀面磨损值的关系数据在一般情况下难以满足这一要求。因此还需将后刀面磨损值vb变换为从1开始、以1递增、带有一位整数的序列，变换公式为 pi= vbi-vb1 c+1（i=1，2，…，n）
vb2-vb1
（2）
式中，c为调整系数，可根据实际情况取值，取值范围为0利用插值法计算出小于pi且zui接近pi正整数点处的切削时间。设ip为小于pi且zui接近pi的正整数，求ip点处切削时间的内插公式为 x（0）（ip）=x（0）（pi-1）+ ip-pi-1 [x（0）（pi）-x（0）（pi-1）]
pi-pi-1
（3）
为弱化原序列的随机性，将无规序列变为有规序列，通常需对其数列进行一次累加数据处理，对x（0）（ip）作一次累加处理的表达式为 x（1）（ip）= ip∑:k=1 x（0）（k）（ip=1，2，…，n）
（4）
对x（0）（pi）作一次累加处理的表达式为 x（1）（pi）=x（1）（ip）+（pii-ip）x（0）（pi） （5）
经过以上处理后，一般可使粗糙的原始数据离散数列变为光滑的离散数列。在满足光滑性条件后，即可建立基本预测模型gm（1，1），其表达式为 ^x （1）（t+1）=[x（0）（p1）- u ]e-at+ u
a a
（6）
式中，a、u为待辩识参数，可根据zui小二乘法通过矩阵运算求得（表达式略）。 对建立的gm（1，1）预测模型进行精度检验和评估，如模型精度不符合要求，可利用残差序列建立gm（1，1）模型对原模型进行修正，以提高其精度。gm（1，1）模型满足精度要求时，其还原数据与预测值计算公式为 ^x （0）（t+1）=[u-ax（0）（p1）]e-at（t=2，3，…，n）
（7）
预测切削时间时，取t=n+1，与之对应的pn+1=pn+1，由式（7）即可求出pn+1值。由式（2）求出的vbn+1值即为与预测切削时间^ x（0）（t+1）对应的后刀面磨损量。 需要说明，为进一步提高预测精度，本文采用了等维灰数递补gm（1，1）模型，即首先采用已知数列建立一个gm（1，1）模型，按前述方法求出一个预测值，然后将该预测值补入已知数列中，为使序列等维，需同时去除一个zui旧的数据；然后在此基础上再建立gm（1，1）模型，求出下一个预测值，并将其补入数列中，同时去除一个zui旧的数据……，以此类推，通过预测灰数的新陈代谢，逐个预测，依次递补，直至预测值达到给定的磨钝标准为止。3 预测实例与效果分析利用上述灰色预测方法对切削两种牌号（y15、y15b）易切钢的刀具耐用度进行预测。为便于对比，通过四组切削试验获得了切削全程的刀具磨损曲线。切削试验条件为：*组：干切削y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第二组：干切削y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第三组：干切削y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min；干切削y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min。刀片材料均为w18cr4v，硬度hrc64.5～65.3，磨钝标准vb=0.3mm。
表 试验数据原始序列 *组 vb值 0.064 0.08 0.097 0.12
切削时间t 4.3 5.7 7.6 10.7
第二组 vb值 0.04 0.065 0.087 0.1
切削时间t 4 8.5 12.5 16
第三组 vb值 0.105 0.12 0.142 0.153
切削时间t 24 34 50 63
第四组 vb值 0.042 0.062 0.086 0.11
切削时间t 14.6 26 42.3 60
在刀具进入正常磨损阶段后，仅取4个数据作为原始序列进行预测，直至达到给定的磨钝标准为止。试验数据的原始序列见右表。 刀具磨损实测曲线与刀具磨损预测曲线。 对比曲线可知：*、第三组试验（切削y15易切钢）的刀具耐用度预测结果较准确。*组试验的刀具耐用度预测误差e=2.42min（值，下同），相对误差e'=8.5%；第三组试验的刀具耐用度预测误差e=5.27min，相对误差e'=2.9%。第二、第四组试验（切削y15b易切钢）的刀具耐用度预测误差较大。第二组试验的刀具耐用度预测误差e=14.98min，相对误差e'=29.25%；第四组试验的刀具耐用度预测误差e=36min，相对误差e'=18%。从实测曲线看，第二、第四组试验给定的磨钝标准明显偏大，刀具磨损量达到该值前已进入急剧磨损阶段。对于磨损曲线的这种变化，仅根据有限的已知数据显然很难预测。对一个系统进行预测时，随着时空的推移，一些不确定的扰动因素将进入系统而对系统产生影响，因此预测模型不可能一直处于理想状态。虽然采用等维灰数递补等方法可进一步提高预测精度，但预测的未来时刻越远，预测值灰区间就越大（当曲线发生急剧变化时尤其如此）。由图1可见，将刀具磨钝标准设定在vb=0.26mm左右较为合理，此时第二组试验的刀具耐用度预测误差e=9.2min，相对误差e'=19.87%；第四组试验的刀具耐用度预测误差e=2.23min，相对误差e'=1.22%。虽然第二组预测值误差稍大，但仍在可接受范围内，按照目前的预测精度级别划分，仍属好的预测。 由以上预测实例结果可知，在允许误差范围内，采用灰色模型预测刀具耐用度效果不错。与*基于切削试验的预测方法相比，可节省切削时间1～2倍，同时可节省大量切削试验材料，因此在工程上具有实际应用价值。4 结论 用灰色模型预测刀具耐用度的预测精度较高，可较真实地反映刀具磨损实际情况及发展趋势，与常规预测方法相比，可缩短试验时间、节约试验材料、提高试验效率，在工程上具有实用价值。 采用灰色模型预测刀具耐用度时，只需在刀具进入正常磨损阶段时提取4～5个测点数据即可，原始数据需求量少，建模简便易行。 当预测的刀具磨损曲线在正常磨损阶段范围内时，预测结果较准确，预测值相对误差（值）zui大不超过20%，属于好的预测。
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式中，x（vbi）为切削时间，vbi为与该时刻对应的刀具后刀面磨损值。 基于灰色理论的预测通常要求原始数据是等时空距的，但在本文涉及问题中，切削时间与刀具后刀面磨损值的关系数据在一般情况下难以满足这一要求。因此还需将后刀面磨损值vb变换为从1开始、以1递增、带有一位整数的序列，变换公式为 pi= vbi-vb1 c+1（i=1，2，…，n）
vb2-vb1
（2）
式中，c为调整系数，可根据实际情况取值，取值范围为0利用插值法计算出小于pi且zui接近pi正整数点处的切削时间。设ip为小于pi且zui接近pi的正整数，求ip点处切削时间的内插公式为 x（0）（ip）=x（0）（pi-1）+ ip-pi-1 [x（0）（pi）-x（0）（pi-1）]
pi-pi-1
（3）
为弱化原序列的随机性，将无规序列变为有规序列，通常需对其数列进行一次累加数据处理，对x（0）（ip）作一次累加处理的表达式为 x（1）（ip）= ip∑:k=1 x（0）（k）（ip=1，2，…，n）
（4）
对x（0）（pi）作一次累加处理的表达式为 x（1）（pi）=x（1）（ip）+（pii-ip）x（0）（pi） （5）
经过以上处理后，一般可使粗糙的原始数据离散数列变为光滑的离散数列。在满足光滑性条件后，即可建立基本预测模型gm（1，1），其表达式为 ^x （1）（t+1）=[x（0）（p1）- u ]e-at+ u
a a
（6）
式中，a、u为待辩识参数，可根据zui小二乘法通过矩阵运算求得（表达式略）。 对建立的gm（1，1）预测模型进行精度检验和评估，如模型精度不符合要求，可利用残差序列建立gm（1，1）模型对原模型进行修正，以提高其精度。gm（1，1）模型满足精度要求时，其还原数据与预测值计算公式为 ^x （0）（t+1）=[u-ax（0）（p1）]e-at（t=2，3，…，n）
（7）
预测切削时间时，取t=n+1，与之对应的pn+1=pn+1，由式（7）即可求出pn+1值。由式（2）求出的vbn+1值即为与预测切削时间^ x（0）（t+1）对应的后刀面磨损量。 需要说明，为进一步提高预测精度，本文采用了等维灰数递补gm（1，1）模型，即首先采用已知数列建立一个gm（1，1）模型，按前述方法求出一个预测值，然后将该预测值补入已知数列中，为使序列等维，需同时去除一个zui旧的数据；然后在此基础上再建立gm（1，1）模型，求出下一个预测值，并将其补入数列中，同时去除一个zui旧的数据……，以此类推，通过预测灰数的新陈代谢，逐个预测，依次递补，直至预测值达到给定的磨钝标准为止。3 预测实例与效果分析利用上述灰色预测方法对切削两种牌号（y15、y15b）易切钢的刀具耐用度进行预测。为便于对比，通过四组切削试验获得了切削全程的刀具磨损曲线。切削试验条件为：*组：干切削y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第二组：干切削y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=70m/min；第三组：干切削y15，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min；干切削y15b，ap=1mm，f=0.2mm/r，v=50m/min。刀片材料均为w18cr4v，硬度hrc64.5～65.3，磨钝标准vb=0.3mm。
表 试验数据原始序列 *组 vb值 0.064 0.08 0.097 0.12
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第二组 vb值 0.04 0.065 0.087 0.1
切削时间t 4 8.5 12.5 16
第三组 vb值 0.105 0.12 0.142 0.153
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