弧齿锥齿轮的三维仿真模型
1 引言弧齿锥齿轮广泛应用于航空、航海、汽车、拖拉机、机床等行业中。作为一种局部点接触的不*共扼的齿轮副，弧齿锥齿轮在几何上非常复杂，其设计和制造方法直接影响着齿轮副的啮合质量。在齿轮的精锻加工中，制造锻模时，齿面往往需要一点一点的修正，具有周期长、精度不够且难以准确反映齿面形状的缺点。数控机床的发展和应用为发展螺旋锥齿轮新的、高精度加工方法提供了途径。由于数控机床加工基于实体的要求需要知道齿面的形状，因此本文开发了弧齿锥齿轮三维仿真模型，它能够真实地反映产品的外观形状和结构特征，是实现产品设计、运动学与动力学仿真、性能分析与优化以及数控加工的基础。 本文基于格里森机床由运动学方法和啮合方程推导出大齿轮齿面方程，采用大型通用cad/cae/cam 软件i-deas，通过由齿面方程得到的曲率线网构造出齿轮齿面，做成弧齿锥齿轮的三维仿真模型用于cae/cam的分析和加工。2 大轮产成坐标系根据坐标系来描述大轮的产成过程： 固连于加工机床的固定坐标系sm，其原点om位于机床中心，xmomym平面位于机床平面内； 固连于摇台的坐标系sg，在产成过程中，坐标系sg和摇台一起绕坐标系sm的坐标轴zm旋转，在初始位置sg与sm重合，øg角为坐标系sg和摇台的当前转角； 固连于刀盘的坐标系se，其原点om位于刀盘中心，xeoeye平面位于刀尖平面（与机床平面重合）内，坐标系se也固连于坐标系sg上，其中q2为角向刀位； 辅助坐标系sa用来描述被加工大轮在加工机床上的安装位置，固连于坐标系sm，坐标系xa与坐标系sm的坐标轴xa成γ2角（机床根锥角），角γ2等于大轮根锥角； 固连于被加工大轮的坐标系s2，在产成过程中与被加工大轮一起绕坐标系sa的坐标轴xa旋转，在初始位置s2与sa重合，ø2角为坐标系s2与被加工大轮的当前转角，被加工大轮的节锥顶点与坐标系s2的原点o2重合，xb2为床位。3 齿面方程轮齿面是由刀具切削面包络而成。在加工过程中，刀盘绕自身的轴线旋转形成切削锥面；同时摇台（带着刀盘）和被加工大轮也绕各自的轴线旋转，从而展成大轮齿面。 将大轮刀具切削面（锥面）方程及法线方程表示在坐标系se中有 re= [ （rg-ugsinα2）sinθg ]
（rg-ugsinα2）cosθg
-ugcosα2
（1）
式中：ug, θg——曲面变量 α2——刀具齿形角，内刀（加工大轮的凸面）取正值，外刀（加工大轮的凹面）取负值， rg——在xeoeye平面内度量的刀尖半径， 由式（1）可得 rg=0.5dg±0.5pw （2）
式中正号对应外刀（即大轮凹面），负号对应内刀（即大轮凸面），pw为刀顶距。 将大轮刀具切削面方程表示在被加工大轮坐标系s2中有 r2（rg, θg, øg）=[m2e]re （3）
式中[m2e]——固连于刀具的坐标系到被加工大轮坐标系的坐标变换矩阵 大轮加工过程中有啮合方程成立，即 nm·vmg2=0 （4）
式中：m——表明其矢量在坐标系sm中 nm——刀具切削面的法线 vmg2——被加工大轮与产形轮在切削点的相对运动速度 求解以上各式即可消去参数ug，得到以θg和øg为曲面参数的大轮齿面方程r2（θg, øg）。4 弧齿锥齿轮的三维造型 由于齿面方程r2（θg, øg）所确定的曲面是空间曲面，形状较复杂，在某些范围内是不连续的，大轮齿面仅是曲面的一部分，因此必须确定齿面方程r2（θg, øg）中两个变量θg, øg的变化范围。大轮齿面上的点（x, y, z）在xoy平面上的投影必然位于齿轮齿顶线、齿根线、外锥距线和内锥距线构成的四边形内。空间点（x, y, z）在xoy平面上的投影得到的点的坐标为（x1, y1） ，其中x1=x，y1=（y2+z2）½。以这四条边为边界条件，判断由齿面方程r2（θg, øg）所确定的点是否在该范围内，从而得到两个变量θg、øg的取值范围。为便于后面做图，应适当加大变量θg、øg的取值范围。将齿顶线、齿根线、外锥距线、内锥距线构成的四边形外扩，外部线框。 将外部线框绕齿轮轴线ox旋转，成为实体即齿圈实体。 根据齿面方程r2（θg, øg），以一个参数为变量，另一个参数不断改变取值，即可得到一系列曲线。网线的密度由变量θg、øg的取值密度确定，网格越密，曲面越。该参数曲线网即是曲率线网，此时曲面上任一点沿两参数曲线的切线为该点的主方向。 利用i-deas 软件曲面设计中曲线网格建立曲面的功能分别把凸面、凹面参数线网建成光滑曲面（齿面面片）。将齿圈实体与凸面（凹面）齿面面片取交集即得齿轮的凸面（凹面）。将凸面和凹面用边界缝合命令构成的新实体。 为了得到的齿根，需要对齿根进行修正。将齿根线绕中心轴线旋转构成根锥实体，用根锥实体去切除由边界缝合构成的新实体，做出的齿坯实体，将用根锥修正过的实体阵列，阵列个数为齿轮齿数，用阵列后的实体去切除齿轮轮坯，即得弧齿锥齿轮的三维仿真模型。 表1 弧齿锥齿轮的轮坯参数 刀尖半径 刀顶距 凹面压力角 凹面压力角 轮坯安装角 径回刀位 角向刀位 滚比 机床位
228.6 2.54 21.667 18.3333 48.65267 72.70686 98.06182 1.26683 0
表2 大轮加工参数 项目 齿数 模数 齿宽 中点螺旋角 外锥距 顶隙系数 径向变位系数 切向变位系数 旋向
小轮 25 5.5 34 35 111.672 0.188 0.15 0.02 左
大轮 32 -0.15 -0.02 右
5 结论本造型方法根据刀具、机床和被加工齿轮的相互运动及切削过程由运动学方法和啮合方程推导出大齿轮齿面方程，再由齿面方程构造出曲率线网并生成齿面。由曲率线网做出的齿面度高，能准确反映齿面信息。这种造型方法实质上是基于格里森机床由刀路轨迹生成齿面。这种基于工艺的造型方法得到的模型在数控机床上加工时，能保证齿面的连续性和一致性，提高齿面精度。
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式中正号对应外刀（即大轮凹面），负号对应内刀（即大轮凸面），pw为刀顶距。 将大轮刀具切削面方程表示在被加工大轮坐标系s2中有 r2（rg, θg, øg）=[m2e]re （3）
式中[m2e]——固连于刀具的坐标系到被加工大轮坐标系的坐标变换矩阵 大轮加工过程中有啮合方程成立，即 nm·vmg2=0 （4）
式中：m——表明其矢量在坐标系sm中 nm——刀具切削面的法线 vmg2——被加工大轮与产形轮在切削点的相对运动速度 求解以上各式即可消去参数ug，得到以θg和øg为曲面参数的大轮齿面方程r2（θg, øg）。4 弧齿锥齿轮的三维造型 由于齿面方程r2（θg, øg）所确定的曲面是空间曲面，形状较复杂，在某些范围内是不连续的，大轮齿面仅是曲面的一部分，因此必须确定齿面方程r2（θg, øg）中两个变量θg, øg的变化范围。大轮齿面上的点（x, y, z）在xoy平面上的投影必然位于齿轮齿顶线、齿根线、外锥距线和内锥距线构成的四边形内。空间点（x, y, z）在xoy平面上的投影得到的点的坐标为（x1, y1） ，其中x1=x，y1=（y2+z2）½。以这四条边为边界条件，判断由齿面方程r2（θg, øg）所确定的点是否在该范围内，从而得到两个变量θg、øg的取值范围。为便于后面做图，应适当加大变量θg、øg的取值范围。将齿顶线、齿根线、外锥距线、内锥距线构成的四边形外扩，外部线框。 将外部线框绕齿轮轴线ox旋转，成为实体即齿圈实体。 根据齿面方程r2（θg, øg），以一个参数为变量，另一个参数不断改变取值，即可得到一系列曲线。网线的密度由变量θg、øg的取值密度确定，网格越密，曲面越。该参数曲线网即是曲率线网，此时曲面上任一点沿两参数曲线的切线为该点的主方向。 利用i-deas 软件曲面设计中曲线网格建立曲面的功能分别把凸面、凹面参数线网建成光滑曲面（齿面面片）。将齿圈实体与凸面（凹面）齿面面片取交集即得齿轮的凸面（凹面）。将凸面和凹面用边界缝合命令构成的新实体。 为了得到的齿根，需要对齿根进行修正。将齿根线绕中心轴线旋转构成根锥实体，用根锥实体去切除由边界缝合构成的新实体，做出的齿坯实体，将用根锥修正过的实体阵列，阵列个数为齿轮齿数，用阵列后的实体去切除齿轮轮坯，即得弧齿锥齿轮的三维仿真模型。 表1 弧齿锥齿轮的轮坯参数 刀尖半径 刀顶距 凹面压力角 凹面压力角 轮坯安装角 径回刀位 角向刀位 滚比 机床位
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