直线滚动导轨副的选择程序及寿命分析
摘要：主要对滚动直线轨副的受载情况进行了分析，并运用威布尔理论对寿命的计算进行推导与分析。关键词：滚动直线导轨 可靠性 威布尔理论 额定寿命
selection program and life analysis about linear rolling guide
xu yesun jianliabstract:the article deals with some analyses about linear rolling guide under the circumstance of bearing-load;and then on the basis of weibull theory calcuation of life is analyzed and deduced.
key words:linear rolling gride reliability weibull theory specified life
滚动直线导轨副实际使用大约有20年，作为一种新型的滚动功能部件，它已被广泛应用于精密仪器、数控机床等方面。对滚动直线导轨副zui重要的是要了解其负荷性能，如果载荷分布状态知道，就可以估算滚动直线导轨副的静动负荷能力、运行寿命和可靠性；同时，当导轨副系统在现场安装组合时，导轨副许容安装误差、系统的精度寿命状况以及在此条件下的使用寿命及可靠性可以预测，并且可以判定导轨副系统所需的驱动力、作为设计滚珠丝杠等驱动系统的设计依据。
1 导轨副载荷计算
1.1 力和力矩的关系
如图1所示，以两根导轨四滑块工作台为例，并设定x、y、z坐标系；力的分量在垂直于x轴的平面内，系统上作用有如下五种力及力矩载荷；
（1）fy：垂直载荷；（2）fz：水平载荷；（3）mz：颠覆力矩；（4）mx：摆动力矩；（5）my：摇动力矩；为分析简便，视工作台和导轨、滑块除沟槽部分外的结构均为刚体。设置坐标原点于o。
图1 承受力及力矩的工作台系统
图2 力的简化示意图
对于力载荷可采用等效处理法，其原理如图2所示；对于力矩作用无需进行简化。
1.2 滑块反力计算
如图1。设k为滑块编号，它在y轴及z轴方向的各反力为：fryk、frzk，如式（1）～（8）。
（1）滑块k=1
（1）
（2）
（2）滑块k=2
（3）
（4）
（3）滑块k=3
（5）
（6）
（4）滑块k=4
（7）
（8）
1.3 工作台的位移计算
工作台的位移形式如图3所示。对应于力和力矩的作用可分为以下五种分量，即：
（1）α1=y轴方向的位移；（2）α2=颠覆角；（3）α3=摆动角；（4）α4=z轴方向的位移；（5）α2=摇动角；工作台上任意点m（x、y、z）在y轴及z轴方向的位移设为δy、δz，可用下式表示：
δy=α1+α2x+α3z （9）
δz=α4+α5x-α3y （10）
1.4 静不定系滑块反力
在静不定系中，对应于外载荷及力矩作用时的位移分量有α1～α5作为未知数，给与适当的初始值，由数值方法可求得各滑块内各钢球的弹性变形及载荷。
为提高运动精度以及使用承受负荷的有效钢球数尽可能的多，滑块沟槽两端设计有半径为r的过渡曲线，如图4。因此必须考虑过渡曲线对载荷及弹性变形的影响。计算按以下选取宽度xr、λc〔3〕:
xr=3da;λc=0.002da；
图3 工作台位移形式
图4 沟槽表面与钢球配合状态
在过渡曲线上不同点给予钢球的间隙λx是不同的，参照文献〔3〕可按以下式计算：
λx=r（1-cosθ）
｜xz｜｜ux-xr｜ （11）
图5表示在导轨上一侧k滑块，j列沟槽、钢球i的弹性变形δijk及分布载荷pijk的状态。当工作台上没有作用外载荷时，滑块及球用虚线表示，导轨和滑块沟槽的曲率中心点及钢球中心点分别以ar、ag、o表示；导轨视为不能移动，因此工作台按式（9）（10）作δy、δz移动，点ag移至ag′，初始接触角γ变成βijk，钢球的弹性变形δijk可表示如下，即：
则第k个滑块第j列沟槽第i个钢球上的弹性变形可如下表示：
（12）式中：λ为预紧力即过盈量，f为沟槽曲率比，f=r/da，λx由式（11）定，vy、vx是承载后滑块沟槽圆弧与导沟槽圆弧曲率中心间距在y、z方向的投影值。
cb为赫兹系数，其计算可参考文献〔1〕，钢球的接触角为βijk，由赫兹弹性接触理论及图5可得：
pijk=cbδijk3/2 （13）
（14）以整个滑块工作台为研究对象，对于原点o由力及力矩平衡条件，可得下面的方程式，即
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）式中fjk为：对于导轨1；f1k=f2k=-1;f3k=f4k=1;对于导轨2：f1k=f2k=1;f3k=f4k=-1;aijk为原点至pijk作用点的臂长，aijk=zrsinβijk-yrcosβijk，式中zr、yr为导轨沟槽曲率中心；根据以上理论，五个位移量α1～α5作为未知数，由式（15）～（19）用newton-rupson法可以求解此非线性方程组。
2 寿命、可靠性
2.1 额定寿命及可靠性分析
图5 沟槽、钢球弹性变形及载荷分布
图6 k滑块上某钢球的变形状况
（1）寿命分布
滚动直线导轨的寿命分布为一组装置在同一条件下运转，累积破损率f（l）和寿命值l的关系。据有关文献〔2〕其寿命分布为威布尔分布，即
（20）式中l＞0，m＞0，η＞，三个参数具体含义如下：
m：形状参烽或威布尔斜率；η：尺寸参数；γ：位置参数或zui小寿命；
m值：对于钢球m=10/9；对于滚柱m=9/8或3/2。
尺寸参数η：具有当寿命值l——γ为η的时候，分布函数f（l）=0.63的特征。
额定动载荷c和作用于装置上的载荷f之间以p作为载荷的加速指数，有如下关系：
（21）位置参数γ为装置不发生剥离破损的zui小寿命，一般为滚动轴承的90%额定寿命l10的5%左右，其具体取值尚无文献可参考，因此一般可将γ=0处理；但是，进行试件的寿命实验时与载荷作用的大小有关，为此必须设置γ值；为此进行寿命分析时包括γ=0的三参数威布尔进行说明。图7表示寿命值l和概率密度函数f（l）的关系及累积分布函数f（l）和可靠度r（l）的关系。这些图平等地移动l=0处即为γ=0的情况。
图7 概率密度函数、累积分布函数、可靠度
（2）额定寿命
作用于装置上的径向载荷为f时，90%的存在率即可靠性为90%装置的残余寿命值l10，以下式表示：
式中：p=3 单位：50km（滚动体为钢球）
p=10/3 单位：100km（滚动体为滚柱）
破损率（f（l）为n%，由式（20）、（21）、（22）可得任意可靠度r（l）=1-f（l）=1-n%的寿命值：
（23）（3）lg系统寿命
图1表示的lg系统装置，可由概率计算系统的寿命ln，ln（k）为各滑块的寿命
ln=ln（1）-m+ln（2）-m+… （24）
2.2 计算实例
例1：额定动载荷为c=3800kgf的导轨副上作用有径向载荷750kgf时，求额定寿命及50%寿命，此时zui小寿命尚未知，假设为0。
解：由式（22）、（23）并取m=10/9、p=3得
通过此例可知，在相同工况下，50%可靠度的寿命值为可靠度为90%寿命的5.45倍。
例2：如图1所示求lg系统的90%寿命，其中外载荷作用在滑块k=1的中心。并且工作不受冲击、安装误差很小。1x=1z=125mm，径向作用力fy=1000kgf。
解：利用所编程序计算静不定系各滑块的反力结果如下：
fry1=739kgf,fry2=255kgf,fry3=-253kgf,fry4=249kgf;
frz1=-8.8kgf,frz2=-6.5kgf,frz3=6.3kgf,frz4=9.1kgf;
由此可知各滑块上的载荷分布不均以及z轴方向也有若干反力，因此有必要考虑安全系数〔3〕st=1～2，此时取1.2。
额定动载荷计算 c1=c2=c3=c4=3800/1.2=3167kgf
各滑块90%额定寿命为
l10（1）=（3167/739）3=78.7×50=3935km
l10（2）=（3167/255）3=1916×50=9784km
l10（3）=（3167/253）3=1961×50=78074km
l10（4）=（3167/249）3=2058×50=102876km
由式（24）并取m=10/9可得此时系统整体寿命
l10=（1.0976×10-4）-0.9=3660km
因此当此系统有100台时，其中10个达到剥离寿命，运行距离为3660km，比系统内zui小的滑块k=1的寿命值3935km还小的寿命值是可以预测的。
3 结论
对滚动直线导轨副的载荷及寿命计算作了较为全面的推导，可为对滚动直线导轨作更深入全面的研究提供理论依据。
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1400度陶瓷纤维箱式马弗炉XH3L-14
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滚动直线导轨副实际使用大约有20年，作为一种新型的滚动功能部件，它已被广泛应用于精密仪器、数控机床等方面。对滚动直线导轨副zui重要的是要了解其负荷性能，如果载荷分布状态知道，就可以估算滚动直线导轨副的静动负荷能力、运行寿命和可靠性；同时，当导轨副系统在现场安装组合时，导轨副许容安装误差、系统的精度寿命状况以及在此条件下的使用寿命及可靠性可以预测，并且可以判定导轨副系统所需的驱动力、作为设计滚珠丝杠等驱动系统的设计依据。
1 导轨副载荷计算
1.1 力和力矩的关系
如图1所示，以两根导轨四滑块工作台为例，并设定x、y、z坐标系；力的分量在垂直于x轴的平面内，系统上作用有如下五种力及力矩载荷；
（1）fy：垂直载荷；（2）fz：水平载荷；（3）mz：颠覆力矩；（4）mx：摆动力矩；（5）my：摇动力矩；为分析简便，视工作台和导轨、滑块除沟槽部分外的结构均为刚体。设置坐标原点于o。
图1 承受力及力矩的工作台系统
图2 力的简化示意图
对于力载荷可采用等效处理法，其原理如图2所示；对于力矩作用无需进行简化。
1.2 滑块反力计算
如图1。设k为滑块编号，它在y轴及z轴方向的各反力为：fryk、frzk，如式（1）～（8）。
（1）滑块k=1
（1）
（2）
（2）滑块k=2
（3）
（4）
（3）滑块k=3
（5）
（6）
（4）滑块k=4
（7）
（8）
1.3 工作台的位移计算
工作台的位移形式如图3所示。对应于力和力矩的作用可分为以下五种分量，即：
（1）α1=y轴方向的位移；（2）α2=颠覆角；（3）α3=摆动角；（4）α4=z轴方向的位移；（5）α2=摇动角；工作台上任意点m（x、y、z）在y轴及z轴方向的位移设为δy、δz，可用下式表示：
δy=α1+α2x+α3z （9）
δz=α4+α5x-α3y （10）
1.4 静不定系滑块反力
在静不定系中，对应于外载荷及力矩作用时的位移分量有α1～α5作为未知数，给与适当的初始值，由数值方法可求得各滑块内各钢球的弹性变形及载荷。
为提高运动精度以及使用承受负荷的有效钢球数尽可能的多，滑块沟槽两端设计有半径为r的过渡曲线，如图4。因此必须考虑过渡曲线对载荷及弹性变形的影响。计算按以下选取宽度xr、λc〔3〕:
xr=3da;λc=0.002da；
图3 工作台位移形式
图4 沟槽表面与钢球配合状态
在过渡曲线上不同点给予钢球的间隙λx是不同的，参照文献〔3〕可按以下式计算：
λx=r（1-cosθ）
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图5表示在导轨上一侧k滑块，j列沟槽、钢球i的弹性变形δijk及分布载荷pijk的状态。当工作台上没有作用外载荷时，滑块及球用虚线表示，导轨和滑块沟槽的曲率中心点及钢球中心点分别以ar、ag、o表示；导轨视为不能移动，因此工作台按式（9）（10）作δy、δz移动，点ag移至ag′，初始接触角γ变成βijk，钢球的弹性变形δijk可表示如下，即：
则第k个滑块第j列沟槽第i个钢球上的弹性变形可如下表示：
（12）式中：λ为预紧力即过盈量，f为沟槽曲率比，f=r/da，λx由式（11）定，vy、vx是承载后滑块沟槽圆弧与导沟槽圆弧曲率中心间距在y、z方向的投影值。
cb为赫兹系数，其计算可参考文献〔1〕，钢球的接触角为βijk，由赫兹弹性接触理论及图5可得：
pijk=cbδijk3/2 （13）
（14）以整个滑块工作台为研究对象，对于原点o由力及力矩平衡条件，可得下面的方程式，即
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）式中fjk为：对于导轨1；f1k=f2k=-1;f3k=f4k=1;对于导轨2：f1k=f2k=1;f3k=f4k=-1;aijk为原点至pijk作用点的臂长，aijk=zrsinβijk-yrcosβijk，式中zr、yr为导轨沟槽曲率中心；根据以上理论，五个位移量α1～α5作为未知数，由式（15）～（19）用newton-rupson法可以求解此非线性方程组。
2 寿命、可靠性
2.1 额定寿命及可靠性分析
图5 沟槽、钢球弹性变形及载荷分布
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（1）寿命分布
滚动直线导轨的寿命分布为一组装置在同一条件下运转，累积破损率f（l）和寿命值l的关系。据有关文献〔2〕其寿命分布为威布尔分布，即
（20）式中l＞0，m＞0，η＞，三个参数具体含义如下：
m：形状参烽或威布尔斜率；η：尺寸参数；γ：位置参数或zui小寿命；
m值：对于钢球m=10/9；对于滚柱m=9/8或3/2。
尺寸参数η：具有当寿命值l——γ为η的时候，分布函数f（l）=0.63的特征。
额定动载荷c和作用于装置上的载荷f之间以p作为载荷的加速指数，有如下关系：
（21）位置参数γ为装置不发生剥离破损的zui小寿命，一般为滚动轴承的90%额定寿命l10的5%左右，其具体取值尚无文献可参考，因此一般可将γ=0处理；但是，进行试件的寿命实验时与载荷作用的大小有关，为此必须设置γ值；为此进行寿命分析时包括γ=0的三参数威布尔进行说明。图7表示寿命值l和概率密度函数f（l）的关系及累积分布函数f（l）和可靠度r（l）的关系。这些图平等地移动l=0处即为γ=0的情况。
图7 概率密度函数、累积分布函数、可靠度
（2）额定寿命
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式中：p=3 单位：50km（滚动体为钢球）
p=10/3 单位：100km（滚动体为滚柱）
破损率（f（l）为n%，由式（20）、（21）、（22）可得任意可靠度r（l）=1-f（l）=1-n%的寿命值：
（23）（3）lg系统寿命
图1表示的lg系统装置，可由概率计算系统的寿命ln，ln（k）为各滑块的寿命
ln=ln（1）-m+ln（2）-m+… （24）
2.2 计算实例
例1：额定动载荷为c=3800kgf的导轨副上作用有径向载荷750kgf时，求额定寿命及50%寿命，此时zui小寿命尚未知，假设为0。
解：由式（22）、（23）并取m=10/9、p=3得
通过此例可知，在相同工况下，50%可靠度的寿命值为可靠度为90%寿命的5.45倍。
例2：如图1所示求lg系统的90%寿命，其中外载荷作用在滑块k=1的中心。并且工作不受冲击、安装误差很小。1x=1z=125mm，径向作用力fy=1000kgf。
解：利用所编程序计算静不定系各滑块的反力结果如下：
fry1=739kgf,fry2=255kgf,fry3=-253kgf,fry4=249kgf;
frz1=-8.8kgf,frz2=-6.5kgf,frz3=6.3kgf,frz4=9.1kgf;
由此可知各滑块上的载荷分布不均以及z轴方向也有若干反力，因此有必要考虑安全系数〔3〕st=1～2，此时取1.2。
额定动载荷计算 c1=c2=c3=c4=3800/1.2=3167kgf
各滑块90%额定寿命为
l10（1）=（3167/739）3=78.7×50=3935km
l10（2）=（3167/255）3=1916×50=9784km
l10（3）=（3167/253）3=1961×50=78074km
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由式（24）并取m=10/9可得此时系统整体寿命
l10=（1.0976×10-4）-0.9=3660km
因此当此系统有100台时，其中10个达到剥离寿命，运行距离为3660km，比系统内zui小的滑块k=1的寿命值3935km还小的寿命值是可以预测的。
3 结论
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