3D成像机器视觉基础知识（四）张正友标定方法（张氏标定法）
张正友标定方法是用于求解相机内参和畸变系数的经典方法。
我们以表示像素坐标，以表示世界坐标。张氏标定法利用棋盘格标定板进行标定。
利用相应的图像检测算法可以得到每一个角点的像素坐标。同时，张正友标定法规定，世界坐标系固定于棋盘格上，则棋盘格上的
任意一点 。因此，角点的像素坐标 对应的世界坐标系下的。利用这一关系求解得出相机的内参矩阵，外参矩阵和畸变参数。
张正友标定法求解内参矩阵和外参矩阵
先后思路：求解内参矩阵和外参矩阵的积-->求解内参矩阵-->求解外参矩阵。
单点无畸变相机成像模型为：
其中为尺度因子； 是像素坐标的齐次坐标；是相机的内参矩阵，包含仿射变换和透视投影；是外参矩阵，包含刚体旋转矩阵和平移变换矩阵；是世界坐标的齐次坐标。
因为式可简化为：
其中，是旋转矩阵的前两列。同时为了简便将内参矩阵记为
对于不同图片为定值；对于同一张图片为定值，外参矩阵为定值；对于同一张图片上的同一点，为定值，外参矩阵
为定值，尺度因子为定值。
求解内参矩阵和外参矩阵的积
将内参矩阵和外参矩阵的积记为 ，根据式，则有：
解上式可消去尺度因子，得：
由于尺度因子已经被消掉，上式对于同一张图片上的角点全部成立。
至此，角点像素坐标和对应的角点世界坐标系下坐标都是已知的。
当图片标定角点数量大于计算所需时，利用小二乘法回归的矩阵。
至此，内参矩阵和外参矩阵的积已经求出。
求解内参矩阵
已知矩阵；同时和是旋转矩阵的两列，存在单位正交关系。于是有正交约束方程：
且，由于和的关系，可知：
带入可得：
令 ，则为对称矩阵。可以先求出矩阵，再求出内参矩阵。
同时，令：
则：
注意：由于为对称矩阵，部分元素出现了两次。
式可化为：
求解：
令，
则：， 式可化为：
即：
其中，矩阵中的所有元素由 的元素构成，且已知，因此已知。
此时，我们只要求解出向量，即可得到矩阵。每张标定板图片可以提供一个的约束关系，该约束关系含有两个约束方程。但是，向量有6个未知元素。因此，单张图片提供的两个约束方程是不足以解出来向量。因此，我们只要取3张标定板照片，得到3个的约束关系，即6个方程，即可求解向量。当标定板图片的个数大于3时（事实上一般需要15到20张标定板图片），可采用小二乘法拟合的向量，并得到矩阵。
根据式中的矩阵的元素和相机内参的对应关系，可以得到：
可以得出相机的内参矩阵：
求解外参矩阵
已知：；同时，我们已经求解得到了矩阵（对于同一张图片相同，对于不同的图片不同）、矩阵（对于不同的图片
都相同）。通过公式：，即可求得每一张图片对应的外参矩阵。
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任意一点 。因此，角点的像素坐标 对应的世界坐标系下的。利用这一关系求解得出相机的内参矩阵，外参矩阵和畸变参数。
张正友标定法求解内参矩阵和外参矩阵
先后思路：求解内参矩阵和外参矩阵的积-->求解内参矩阵-->求解外参矩阵。
单点无畸变相机成像模型为：
其中为尺度因子； 是像素坐标的齐次坐标；是相机的内参矩阵，包含仿射变换和透视投影；是外参矩阵，包含刚体旋转矩阵和平移变换矩阵；是世界坐标的齐次坐标。
因为式可简化为：
其中，是旋转矩阵的前两列。同时为了简便将内参矩阵记为
对于不同图片为定值；对于同一张图片为定值，外参矩阵为定值；对于同一张图片上的同一点，为定值，外参矩阵
为定值，尺度因子为定值。
求解内参矩阵和外参矩阵的积
将内参矩阵和外参矩阵的积记为 ，根据式，则有：
解上式可消去尺度因子，得：
由于尺度因子已经被消掉，上式对于同一张图片上的角点全部成立。
至此，角点像素坐标和对应的角点世界坐标系下坐标都是已知的。
当图片标定角点数量大于计算所需时，利用小二乘法回归的矩阵。
至此，内参矩阵和外参矩阵的积已经求出。
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已知矩阵；同时和是旋转矩阵的两列，存在单位正交关系。于是有正交约束方程：
且，由于和的关系，可知：
带入可得：
令 ，则为对称矩阵。可以先求出矩阵，再求出内参矩阵。
同时，令：
则：
注意：由于为对称矩阵，部分元素出现了两次。
式可化为：
求解：
令，
则：， 式可化为：
即：
其中，矩阵中的所有元素由 的元素构成，且已知，因此已知。
此时，我们只要求解出向量，即可得到矩阵。每张标定板图片可以提供一个的约束关系，该约束关系含有两个约束方程。但是，向量有6个未知元素。因此，单张图片提供的两个约束方程是不足以解出来向量。因此，我们只要取3张标定板照片，得到3个的约束关系，即6个方程，即可求解向量。当标定板图片的个数大于3时（事实上一般需要15到20张标定板图片），可采用小二乘法拟合的向量，并得到矩阵。
根据式中的矩阵的元素和相机内参的对应关系，可以得到：
可以得出相机的内参矩阵：
求解外参矩阵
已知：；同时，我们已经求解得到了矩阵（对于同一张图片相同，对于不同的图片不同）、矩阵（对于不同的图片
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